宋春伟:今天,我们为什么学数学?

2018年10月12日 16:12:10 发布者:北京民盟宣传部

           处处强调数学

九月金秋,又一批新鲜人满怀憧憬走入大学校园。他们意气风发,不少已是零零后。时至今日,以北京大学为例,绝大多数专业的新生都被要求必修数学课。不仅北大数学学院因为专业课负担重而被戏称为学校里的“四大疯人院之首”,以培养商业精英著称的北大光华管理学院也要求学生在前两年修习高等数学I/II、线性代数、概率统计等多门颇有些考验的数学课,不少学生还主动选修更具挑战性的数学双学位(由此衍生出“光华数双女子天团”等大学内部的神秘小团体)。

在大洋彼岸,最好的综合性学府哈佛大学要求所有本科生必须在“实践及数学推理”这一门类中修课,该门类包括数学系提供的微积分、线性代数等23门比较严肃的数学课程。其他绝大多数大学也要求所有本科生必修数学课。美国大学法学院在本科阶段不招生,本科毕业生要想进入法学院必须考好以逻辑推理题闻名的LSAT(法学院入学考试),这就有利于数学素质好的学生。商学院入学考试GMAT(研究生管理科学入学考试)同样以富含智巧的定量推理题目著称。

实际上,中外学校系统在更早期的K12阶段就对数学能力高度重视,普遍青睐数学资优生。数学是物理、化学等自然科学的基础,往往一旦弄懂了数学,相关科目随之迎刃而解。因此,一定程度上数学好发展前景就好。正是出于这个原因,从初中开始,我国各地的重点中学倾向于把数学特长作为选优录取的重要标尺,这是从实际情况出发的:无论风向如何变来变去,数学是核心竞争力这一点是客观事实。只要竞争与“掐尖”存在,就要有选拔方法,而和其他形形色色的学科特长相比较,数学表现受到培训干扰的程度最小、相对最可靠。毋庸讳言,社会上因为不了解而有误解,行政管理部门有时也会制定颁布不尽科学的政策规章。尽管如此,2018年,教育部适应深化改革要求,大力支持和鼓励北大与清华各招收不超过30名学生进入“数学英才班”,目标人群为数学奥林匹克竞赛优胜者等有天赋的拔尖学生。而往大众层面看,与世界接轨的高考改革即将实施,从2020年起我国中学生高考不再按文理科分流,但无论报考什么专业一律要考语、数、外。

作为美国奥数选拔程序的一个较高阶步骤,美国数学奥林匹克(USAMO)在前一年春季举行,约有三十几万前期竞争者中的两三百名优胜者参加这一比赛。下一轮,胜出者们参加一个暑期的集中高强度训练,再经过“选拔考试入围考试(TSTST)”和接下来的“选拔考试(TST)”,这样最终选拔出的国家队队员将有一年多时间投入专业训练,到第二年暑期参加国际竞赛时已经有了充分准备。所有那些参加了USAMO的学生们都将在大学录取时因为奥数表现获得照顾。制度优势帮助美国从2014年开始的最近四届国际数学奥林匹克比赛中取得三次总分第一。

现代教育家蔡元培认为:“大学宗旨,凡治哲学文学应用科学者,都要从纯粹科学入手;治纯粹科学者,都要从数学入手,所以各系秩序,列数学系为第一系”。因此,1919年北京大学改门为系时,校评议会对各系进行分组,数学系被列为第一组第一位。今天,很多我国综合性大学都将数学学院(系)排在院系编号第一位。

那么,究竟因为什么深层原因让数学受到如此厚爱和关注?这涉及到:今天我们为什么要学数学?而且无论国内国外、从小学到大学都躲不开?

作用无微不至

在我国计划经济年代,人们的认识局限于求学是为了掌握一门谋生的“手艺”,从而常常问“学数学能干什么”?其实,这种想法是老工业时代的某种印记。在发达国家,数学受到市场欢迎则由来已久。时代浪潮滚滚向前,社会分工早已不再是一把钥匙开一把锁了。现今在我国人们也逐渐意识到,数学在现代学科分工中居于超然地位,很多当下的热门技术倘若离开数学,就会像无根之木、无源之水,难以到达新的高度。数学犹如一把万能钥匙,开以打开很多大门,由此意味着数学基础扎实在社会职业选择中处于有利地位。所以,越来越多的优秀高中生首选数学作为自己的本科专业。

数学对物理、化学、计算机科学等的作用最为人们所知,兹不赘言。以数学与生命科学的交叉举一个例子。生物技术产生大量的复杂数据,为整合不同层次的信息,数学和生物学结合在一起就催生了新的学科分支:生物信息学。美国国家科学基金会斥巨资在田纳西大学建立数学和生物合成国家研究所、在俄亥俄州立大学建立数学生命科学研究所,吸引全世界顶级的科学家进行创造性的研究,致力于解决数学与生物学科交叉中一些迫切需要解决的问题。美国的一些大学将数学系、物理系、计算机科学系和生物系的教授集合在一起成立新的生物信息学专业,创建新的学位项目,开始培养学生。如今,全世界至少有三百家研究机构或大学开始授予生物信息学方向的学位。此外,从现代医学扫描诊断到飞行器的模拟设计,从因特网的搜索到指纹或签字的识别,从印刷排版的自动化到信息安全技术,这些形形色色的新技术中无不凝聚着数学。曾任美国总统科学顾问的爱德华·大卫认为:“当今被如此称颂的高技术本质上是一种数学技术”。高新技术领域需要数学,各个领域的用人单位自然喜欢吸纳数学人才。

数学在经济和金融研究中的地位也尤为显著。通过模型的构建,问题被抽象出来,研究不再是一种随意的探索,经济学家也可以和自然科学家一样,通过“假设驱动”来进行研究。于是用数学理论来描述宏观或微观经济的发展规律成为现代经济学的重要特点之一。诺贝尔经济学奖获得者中有相当多的数学家,他们由于成功地将数学应用于经济学或金融市场的分析而获奖。其中两次“华尔街革命”:马科维茨的理论投资组合选择,和布莱克-斯科尔斯期权定价公式都是数学与经济学结合的产物,而九十年代以来仅在数学有关的博弈论分析方面就至少产生过三届诺贝尔经济学奖。数学家吉姆·西蒙斯在冷战时期曾经帮助美国军方破译密码。他从石溪大学数学系离职后创办的对冲基金公司Renaissance Technologies主要依靠基于数学模型的“大奖章基金”(该名称的由来是为了纪念西蒙斯曾获得的几何学领域最高荣誉——美国数学会韦伯伦奖)。大奖章基金在连续十几年中最低的年增长率仍达21%。西蒙斯的公司如今管理着近千亿美元资产,其员工招聘的主要对象是数学、统计等学科的博士。

数学家冯·诺伊曼和摩根斯顿的《博弈论与经济行为》使决策成为一门科学。数学与系统科学、管理科学—控制理论与运筹学也息息相关。数学中的线性规划、非线性规划、最优控制在交通运输、商业管理、政府决策、工业企业的管理等许多方面得到广泛的应用。

数学在现代国防中的作用更是超出人们的想象。大国重器的研发、信息战场的较量、策略的竞争、资源与武器的配置等,无不与数学有紧密的关系。笔者在国外学习工作时,美国国家安全局和西点军校专门到数学系招聘博士生,在国内,国家安全部门也来数学学院招聘基础数学方向的学生。

在日新月异的变革中,我们看到数学在科学、技术、工程、国民经济、国防建设等社会生活的各个领域中发挥着关键作用并具有深远影响。与文学、历史学等同样崇尚智识的领域相比,也许可称为幸运的是,数学的外延应用部分在当代早已成为具有竞争优势的热门显学,因此数学专业毕业生不愁就业。数学是国家培养创新力量所不可或缺。但与此同时应当认识到,数学份属现代人类精神生活的重要组成部分,其强调和培育的精神亦是人民文明进步之所必需。

正确看待数学

数学对人类了解世界、改造世界作出了重要的贡献。我们有必要更好认识数学的本质。数学的核心能力是逻辑思辨力和空间想像力,而不仅仅是关于数字与计算。数学也不仅仅是一个强大的工具,作为一种独特的文化,更是人类精神层面最美好的事物之一。

数学提供了一种思维方式,使人睿智、严谨。如果较好掌握数学的思维方式和基本素养,对一些简单事情的思考判断会更为清晰明智,从而具有洞察力。比方说,一个家庭已经有两个女儿后,妻子再度怀孕。一些人会认为,基于一般来说三个女儿的可能性不高,第三个孩子仍是女孩的几率将会很小,进而认为再出现女孩的概率是1/8。这实际上是数学思维欠缺的表现。谬误的原因是前两个孩子为女儿既然已成事实,就应在这一前提下考虑那个还未出世的孩子,而不需要整体来考虑三个孩子都是女儿的概率。在绝对理想的模型下,假设每个孩子为男女的概率各为一半且孩子们的性别各自独立,第三个为女儿的概率应当是50%。当然,在现实生活中,如果认为几个孩子的性别可能有一定正相关性,则第三个孩子仍是女儿的几率就还会超过一半了。

数学是一种文化,也是一种信仰,她体现了一种探索精神和对真理与美的追求。古希腊的毕达哥拉斯学派是一个集科学、宗教和政治三者于一身的颇具神秘性的庞大组织,从公元前6世纪末到公元3世纪共延续了八百多年,其主要贡献在数学方面,证明了包括三角形内角和定理等一些结果。他们认为数是宇宙要素、万物本源,美表现于数量比例上的对称和和谐,他们用数来阐述音乐,把自己理解的数学理论当作一种信仰。尽管该学派的学说有着时代局限性,其对西方文明源头的学术发展仍具有相当积极意义,一定程度上影响了稍后的柏拉图、亚里士多德等作出普世成就的大哲。

根据我国《左传》记载,在两千五百多年前的鲁襄公三十年,曾有一位晋国老者在从事葺城工作后参与聚餐。当有人问起年龄时,他表示不尽清楚,但记得“臣生之岁,正月甲子朔,四百有四十五甲子矣,其季於今三之一也。”按一甲子为六十日,去掉首尾冗余,四百四十四又三分之一个六十日就是26660天。彼时小吏“不知历数”,到晋国朝廷询问那些夙享盛名的卿大夫,士文伯当即算出应是“然则二万六千六百有六旬也”,大乐师师旷则指明老者出生在鲁国的叔仲惠伯会见晋国的郤成子那一年,应已经七十三岁了。可见无论中西,数学素养早在上古即已成为文明智慧的一种标志。数学有关人的素质,堪称理性文化的核心。

数学可以锻炼国民思维,让人们拓展视野,增添智慧,故而其不仅从功用而言直接关系着国家安全、经济发展、技术突破,而且极其深刻影响着民族强盛、个人品质、社会风貌。所以数学不仅是数学家的事业和爱好,数学事业和数学教育值得数学界之外的民众来关心。数学教育在人才培养上有着不可替代的作用。

当评判一件数学有关的教育项目、一项政策时,数学界往往以是否有助于产生最优秀的新一代数学家为标准。实际上,应该认识到,培养数学人才并不等同于培养数学家。让数学事业后继有人是一个关键目标,但以体量而言,成为数学家这一部分人只占受到数学教育的人员总体的极少一部分。未来的数学家断不可少,值得特别关注,他们却断不能替代其他绝大多数人起到的作用。因此培养造就数学专业人士并不是数学教育的主要目标。在高等教育阶段让所有专业的学生均学习数学、接受理性严谨的思维训练是必要的,但不一定需要特别深入。另一方面,在基础教育阶段加强特长数学教育并为有特长的青少年开辟特殊通道是保障国家竞争力的重要做法,但这样做的目的并不是期待这些孩子在未来必然成为数学家。

当然,长期专注于数学,虽有助于保持大脑活跃,却也有时会让人内敛吝言,遇到特殊情况可能不容易变通。学数学的时候建议重视这一点并有意识地定向锻炼则或可改善。

正确的培养方式,应以兴趣为第一,不揠苗助长。在此前提下,年轻人尽量多学一些优美的数学,可以开阔眼界、增进逻辑、磨练意志、提高品味,何乐而不为呢!

 (作者宋春伟系民盟北京大学委员会副主委,北京大学数学科学学院教授)

(来源:《群言》2018年第9期)